Nello studio dell’analisi matematica e in particolare nello studio di funzioni ti troverai a dover risolvere dei limiti; alcuni di essi sono immediati, altri hanno bisogno di qualche artifizio per essere risolti. In genere, quando ti trovi di fronte ad una forma indeterminata (cioè il risultato non è né un numero né infinito) devi applicare qualche trucchetto per risolvere il limite.
Esistono diversi tipi di forme indeterminate; esse sono indicate in basso: 0/0, inf / inf, 1^inf, 0*inf, “più” inf – inf, 0^0, inf^0 dove inf indica “infinito” e il simbolo ^ significa “elevato a”. Ognuna di queste forme può essere risolta in modo diverso. In questa guida ti insegnerò a risolvere la forma 0/0 e inf/inf.
Quando devi calcolare un limite, la prima cosa che devi fare è sostituire il valore a cui tende la x, al posto dell’espressione contenuta nel limite. Se il limite è: Lim (x 2)/(x-2) devi sostituire inf al posto della x. (x—inf) In questo caso otterremo la forma indeterminata inf / inf. Una tecnica che puoi usare per risolvere questo tipo di forma indeterminata (come anche quella 0/0) è quella di utilizzare la regola di de l’Hopital. Essa consiste nel derivare il numeratore e il denominatore e fare il limite di questa nuova funzione. Se tale limite esiste, esso sarà uguale al valore del limite originario. Nel nostro caso avremo Lim 1/1 il cui risultato è 1. (x—inf) Se il risultato del limite dopo la trasformazione è ancora inf / inf, puoi applicare di nuovo il teorema facendo una nuova derivata.
Per risolvere il limite di funzioni polinomiali fratte come quella vista in precedenza puoi adottare anche un altro metodo. Devi ordinare il polinomio a numeratore e a denominatore dalla potenza maggiore a quella minore; se il grado massimo del numeratore è maggiore del grado massimo del denominatore, allora il risultato è infinito; se il grado massimo del numeratore è minore del grado massimo del denominatore, allora il risultato è 0; se i due gradi sono uguali allora il risultato è dato dal rapporto dei coefficienti dei due termini di grado massimo. Esempio Lim x^2/x (x—inf) Applicando de l’Hopital avrai Lim 2x = inf (x—inf) Applicando la seconda regola puoi dire direttamente, senza fare calcoli, che il risultato è infinito.